一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学

偏微分方程这门数学学科，对于广大中学生来说，恐怕是完全陌生的，难免会感到高不可攀；至于说它是一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学，恐怕更显得匪夷所思了。尽管如此，这篇短文仍希望能对此做一个简单的说明和介绍。 1. 什么是偏微分方程？ 中学里的数学，已讲过函数，并涉及到一点简单的微积分。说  是自变量  的一个函数，记为，是指当自变量  在一给定的范围中变动时，函数  的值也按一定的规则相应地变动。例如，以匀速  运动的物体，其位移  是时间  的一次函数：, 而自由落体的位移  则是时间  的二次函数：（其中  为重力加速度），等等。函数  的变化率，表示函数值  随着自变量  变化的速率，则用其对  的导数  来表示。在匀速运动的情形，位移对时间的导数就是速度 ；而在自由落体运动的情形，位移对时间的导数是  ,它也是一个  的函数。上面这些函数都只有一个自变量，统称为一元函数，是比较简单的情形。  在众多的实际应用中，一个函数所依赖的自变量往往不止一个。例如，一个矩形的面积 等于其长  与宽  的乘积，即 。当  或  变动时， 的值都要相应的变化， 就是 及  的一个二元函数。当自变量的个数更多时，类似地有多元函数。对一个多元函数，可以相应地考虑其对某个自变量的变化率，即当其他自变量暂时固定时、该函数对此自变量的变化率，称为该函数对此自变量的偏导数(在经济学中,称之为边际效益!),它一般也是已有一切自变量的函数。例如，矩形的面积  对其长  的偏导数，记为 ，其值为 ；而对其宽  的偏导数，则记为 ，其值为  。对于一个多元函数  而言，不仅可以有一阶的偏导数 及 ，而且由于一阶偏导数仍是一个多元函数，还可以继续求偏导数，从而还有二阶的偏导数  ， 及，等等。由于多元函数在应用中的重要性，对其研究必然会引起极大的重视。这比研究一元函数要困难得多，对数学也提出了新的发展机遇与挑战。 在一元函数的情形，如果在决定未知函数的方程中包括其某些导数，则称其为常微分方程。求解相应的常微分方程得到其解，即得到所求的未知函数，已经对解决很多应用问题带来了极大的推动与帮助。在多元函数的情形，如果在决定未知函数的方程中包含其某些偏导数，则称其为偏微分方程。例如 就是一个偏微分方程，其中  为未知函数，而及则分别为其对  及  的二阶偏导数。这是一个非常有名的偏微分方程，称为拉普拉斯(Laplace)方程。一个函数  如果满足这个方程，即将这个函数代入方程两端能使其化为恒等式，就称为该方程的解。通过求解相应的偏微分方程，得到所要求的未知多元函数解，是很多应用领域中的迫切需要，具有重要的意义。   2. 对偏微分方程的研究要重视其个性 如前所述，包括多元未知函数的某些偏导数的方程，统称为偏微分方程。它有两个特点，一是未知函数为一个多元函数(否则，若未知函数只是一个一元函数，就是一个常微分方程!)，二是方程中要包含未知函数的某些偏导数(否则，就是一个函数方程!)。这样来界定偏微分方程，其研究的目标和对象就太宽泛了，很难得到深入的结果。其实，偏微分方程这门数学学科的出现和兴起，并不是从偏微分方程的上述广泛的定义出发的，恰恰相反，是源于实践及应用需要的驱动，才使少数一些具特殊类型的偏微分方程引起了人们普遍的关注，成了反复深入研究的对象，从而逐渐形成了气候，而对其他种种 “可能” 出现的偏微分方程却根本置之不顾。  自18世纪中叶开始对偏微分方程开展研究以来，人们的兴趣长期集中在下面几种典型的偏微分方程上。 (1)双曲型方程。其代表是波动方程 ， 其中  为以时间t及空间位置坐标  为自变量的未知函数，方程左端为u对t的二阶偏导数，右端的  通称拉普拉斯算子，而  是一个表示波速的常数系数。这个方程可用来描述空间中波（如声波）的传播过程。在一个空间变量的情况，相应的方程   称为弦振动方程。它描述一个弹性弦的横向振动过程，可成功地刻画弦乐器发生的机理，也正是由于这一需要的推动，才引起当时一批数学家的广泛重视。这应该是最早得到研究的一个偏微分方程，它的求解公式通称达朗贝尔(D'Alembert)公式，以纪念达伦贝尔开创性的研究工作。其实，在达朗贝尔于1746年发表了有关的论文后不久，欧拉(Euler),丹尼尔·贝努里(Daniel Bernoulli)以及拉格朗日(Lagrange)均展开了相应的研究，他们相互间对如何理解这个方程的解，曾进行了长期激烈的争论，推动了对相关问题的深入认识。   （2）抛物型方程。其代表是热传导方程 。 与波动方程不同，这个方程的左端是未知函数u对t的一阶偏导数。这个方程描述了由傅立叶(Fourier)在其1822年出版的名著《热的解析理论》中深入阐述的热的传导现象，揭示了一系列有关热传导的规律。在这一研究中，傅里叶提出了现今以其命名的傅里叶级数及傅里叶积分，为偏微分方程的研究开创性地建立了傅里叶分析这一重要的方法和工具。   （3）椭圆型方程。其代表是拉普拉斯方程 ， 其中 是一个与时间  无关的未知函数。这个方程可用来描述具有稳定状态的波动过程或热传导现象，其解通称为调和函数，在数学内部及其他科学中都有广泛的应用。   在众多可能的偏微分方程中，只关注这几类特殊的方程， 其原因除了对偏分方程极少有非常一般性的结论外，根本在于：不同的物理来源与背景，会归结出不同类型的偏微分方程，其解有不同的特性，其问题的提法和求解的方法因而也各不相同，换言之，偏微分方程的研究充分显示了其个性。只有根据实践中的迫切需要，分门别类地进行研究，才能充分展现有关偏微分方程的丰富内涵，深入揭示问题的本质，取得深刻的成果。正因为如此，在大学里开设的偏微分方程课程，往往称之为数学物理方程，重点强调那些与物理世界密切联系、有鲜明个性的特殊类型的偏微分方程。这样做，才真正反映了这门课程的本质特点，充分显示了其作用与优势。 当然，随着科技的不断进步与发展，经典的数学物理方程，除了上面列举的最典型的三类方程外，其范围也在不断的扩大。现在，描述电磁理论的麦克斯韦(Maxell)方程组，描述流体运动的欧拉方程组和纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程组，描述弹性体运动的弹性力学方程组，描述量子力学基本规律的薛定锷(Schrödinger)方程，描述孤立波的KdV方程, 广义相对论的爱因斯坦(Einstein)方程，等等，都已成为引起广泛重视和深入研究的重要的数学物理方程。可以预见，随着人类对世界的认识越来越深入，还将会有一些新的重要的数学物理方程进入人们的视野，促使人们对其进行深入的研究，充分显示数学物理偏微分方程这一学科蓬勃发展、与时俱进的特征和面貌。但不管怎样，结合一些重要的物理模型，对偏微分方程的某些特殊类型开展深入的研究，将是很长一段时期中偏微分方程发展的特点和主流；呈现出强烈的个性，将会一直是偏微分方程研究的一个重要的特征。 对偏微分方程的这种显示出强烈个性的研究方式，不仅体现了偏微分方程的特点，而且充分显示了它的优越性。以波动方程为例，它虽然只是众多偏微分方程中的一个特殊的类型，具有明显的个性，但正因为此，才可以深入反映种种波动现象（如声波，电磁波，弹性波…）的共性，从而在信息通讯、石油勘探、半导体器件、电子显微镜、激光制导等等领域有着广泛的应用，真正改变了人们的生活。 不仅如此，以拉普拉斯方程为例，它不仅可以用来表示稳定的温度场，也可以用来表示静电场、静磁场、定常扩散现象、柱形杆的扭转、流体力学及势论，还可以用来刻画复变解析函数的实部与虚部。从各种现象领域的微分方程的“惊人的类似”中，可以清楚地显示出自然界的统一性，也使某一偏微分方程的研究成果可以在很多看似截然不同的领域中发挥重要的作用。正因为如此，偏微分方程的基础理论成果一旦有所突破，其在应用方面的巨大推动作用因而可以是无穷无尽的。 3. 偏微分方程是打开世界大门的金钥匙 前面所列举的一些数学物理方程，都是一些重要物理、力学学科的基本方程，例如，麦克斯韦方程组是描述电磁场规律的电动力学的基本方程，欧拉方程组及纳维-斯托克斯方程组是流体力学的基本方程，弹性力学方程组是描述弹性体运动规律的弹性力学的基本方程，薛定锷方程是量子力学的基本方程，爱因斯坦方程是广义相对论的基本方程，等等。这些基本方程，形式不同，难易程度各异，但都是在很多物理、力学观察、实验及思考的基础上建立起来的、抓住相应学科本质的数学模型，是物理世界的基本方程，是有关学科的基本理论框架，由此可以演绎出该学科的一切核心内容和基本事实。 这样，用于揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的这些重要物理、力学学科，它们的基本方程就是偏微分方程。抓住了这些基本方程，就抓住了这些物理、力学学科的本质；根据需要，在各种情况下求解这些方程并阐明其解的物理、力学本质与内涵，不仅可以透彻地掌握这些物理，力学学科，更可以打开世界的大门，逐步认识宇宙的奥秘。偏微分方程在人类认识世界和改变世界中的独特而关键性的作用由此可见一斑。 在《历史上最伟大的10个方程》（美国Robert P. Crease 著）这本书中，就至少直接列出了三个重要的偏微分方程，相应章节的小标题分别是“19世纪最重要的事件——麦克斯韦方程组”，“金蛋：爱因斯坦的广义相对论方程”及“量子论的基本方程薛定锷方程”。 下面对偏微分方程的作用再举几个例子加以具体说明。   （1）电磁波的发现 麦克斯韦方程组描述了电磁场运动的一般规律。它是以电场强度 及磁场强度  为未知函数的一个偏微分方程组。麦克斯韦据此预言了电磁波的存在，并断言其在真空中的传播速度为光速，从而光也是一种电磁波。20年后，赫兹（Hertz）用实验证明了电磁波的存在，使麦克斯韦的预言变成了现实，从而在人类的历史上先后出现了电话、无线电通讯、电视、手机，迎来了现今丰富多彩的信息时代。 （2）地震中心的确定 地震是人类面临的一个重大的自然灾害。一旦发生地震，需要在第一时间确定震心的位置，以便及时掌握情况、组织救援。弹性力学的基本方程——弹性动力学方程组在这方面发挥了重要的作用。是以弹性体在  三个方向上的位移  为未知函数的偏微分方程组，将它应用于地球这个弹性体，可以发现在其震动时要形成两个波，一个是膨胀波，其波速为 λ ρ ， 另一个是畸变波，其波速为   ρ 其中  ρ  为弹性体的密度,而  λ  和  两为两个弹性常数。显然，膨胀波的速度  恒大于畸变波的速度 ：   。 如果一个地方发生了地震，从震中传出的膨胀波会首先到达观测站，过一些时候，才会收到震中传来的畸变波。由这个时间差，就可以计算出震中到观测站的距离。这样，利用好几个观测站的测量结果，就可以确定地震中心的位置，从而给出及时而准确的预报。   利用弹性波的理论，还可以用人工造成的地震所接受的信息来确定地下矿藏的位置及储量，称之为地震勘探。 （3）薛定锷方程成为量子力学的基本数学模型 薛定锷方程 是量子力学中描述单个微观粒子运动规律的基本方程，其中  为一个物理常数， 为微观粒子的质量， 为虚数单位，而  (称为波函数)是一个复值的未知函数。这个偏微分方程的推导并没有已有物理规律的支撑，其中还意外地出现了虚数单位 ，它究竟是不是描述微观世界粒子运动规律的一个正确的数学模型呢？！   把这个方程用于一个很简单的微观粒子——氢原子，用求解偏微分方程的方法算出氢原子的光谱线，发现和实测的结果完全一致，使这个方程成功地经受了实践的检验，从而牢固地确立了其为量子力学基本方程的地位。 从薛定锷方程中可以看出，量子力学的基本方程中本质地出现了虚数单位i，这深刻地意味着“虚数不虚”，自然界实际上是用复数而不是用实数来运作的！ （4）为高速飞行器的设计及运行提供依据 “飞天”曾是人类的一个美丽的梦想，为了征服蓝天、走向太空，要成功地设计超音速飞机、人造地球卫星及宇宙飞船这些航空、航天的利器，必须精确地了解飞行器周围的流场，包括气体的流速及压强等有关情况，这就要求解理想（无粘性）或粘性流体力学方程组。这涉及到对这些基本方程组的深入了解，以及相应的数值求解方案的深入开发与研究。 （5）黑洞的预见 爱因斯坦方程是广义相对论的基本方程，它具有深刻的物理与几何背景，是一个很复杂的非线性偏微分方程组，对宇宙的形成与演化有重要的启示作用。由于其结构复杂，对爱因斯坦方程的具体求解是很困难的，1915年Scharzschild 给出了它的一个球对称的特解，现称为Scharzschild解。这个解看上去虽比较简单，但当半径r等于某个值（称为Scharzschild半径）时，其值趋于无穷，解出现了奇性；而在半径r小于该值时，人们由此猜测天体将发生坍塌，解将是一个黑洞。 这在当时只是从爱因斯坦方程的一个特解所提出的一个猜测，而在现在宇宙空间中黑洞的存在，已经是物理学家、天文学家的一个共识了。 4.小结与展望 最后，对偏微分方程这一学科做一个简短的补充和小结。 偏微分方程，根据它的特点和任务，除了本身是一门博大精深的数学学科外，还应有左，右两翼和它比翼齐飞、展翅翱翔。这儿所说的左右两翼，一是物理模型，它是提供有意义的偏微分课题的不竭源泉；一是科学计算，它不仅可以对偏微分方程提供足够精确的近似解，而且可以对偏微分方程的理论研究提供新的思路和方法。  从偏微分方程出发，还可以进一步衍生出一些重要的数学学科和方向，例如，分布参数系统的控制理论，偏微分方程的数值解，数学物理反问题，无穷维动力系统，几何分析，随机偏微分方程，等等。 从研究偏微分方程的角度，由于它是一门分析性的学科，很多分析工具，例如微积分、常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、调和分析、广义函数论及微局部分析等固然会经常用到；就是分析外的学科，如几何、代数、拓扑、数论等等也会不时起到重要的作用。另一方面，偏微分方程的研究也有力地促进了这些学科的进一步发展。  总而言之，偏微分方程不仅意义重大，且是一门兼收并蓄、极度开放包容的学科，为一切有志于研究偏微分方程的学人提供了极大丰富自己的学养、同时又充分展示自己才华的无限可能性。前景灿烂辉煌，让我们共同努力。